1． 计算机的数据单位

在计算机中，常用的数据单位有位、字节、半字和字，微处理器根据位数的不同支持8位字节、16位半字或32位字的数据类型。

• 位(bit)：它是一个二进制数的位，位是计算机数据的最小单位，一个位只有0和1 两种状态。为了表示更多的信息，必须将更多位组合起来使用，比如，两位二进制数就有00、01、10、11四种状态，依此类推。

• 字节(Byte):：一个8位二进制数称为一个字节，即1B=8bit，那么一个字节就可以表示0-255种状态或十六进制0~FF之间的数，8位微处理器的数据是以字节方式存储的。

• l半字：从偶数地址开始连续的2个字节构成一个半字，半字的数据类型为2个连续的字节，有些32位微处理器的数据是以半字方式存储的，比如，32位ARM微处理器支持的Thumb指令的长度刚好是一个半字。

• 字：以能被4整除的地址开始的连续的4个字节构成1个字，字的数据类型为4个连续的字节，32位微处理器的数据全部支持以字方式存储的格式。

2． 负数的表示法

当需要带符号的signed整数时，虽然可以单独指定某位为1表示“符号”，但计算机不会简单地将“符号位”加到一个数上去。计算机如何存储负数？

由于计算机中无减法器，那么最好的方法就是将减法也通过加法器来完成。为了解决负数在计算机中的存储问题，这里有必要引入补码的概念。可以举个例子说明一下，指针式钟表，假如要将时针从5点拔到2点，有2种拔法，一种是逆时针拔3个时格，相当于5减3等于2；另一种拔法是顺时针拔9个时格，相当于5加9也等于2，即对于这种模为12计数制来说，9和3互补，9是3的补码，反之亦然。对于刚才时钟的拔法可以写出如下算式：

5－3 ＝ 5－(12－9) ＝ 5＋9－12 ＝ 2

由此可见，既然补码的概念是为了方便减法运算而引入的，那么不妨约定：其最高位为符号位。也就是说，其最高有效位的数字具有不同的“权值”，当最高有效位为0时，其权值为2n-1，否则其权值为-2n-1。比如，当一个8位二进制数10110111被解释为一个无符号数数时，那么其十进制数的多项式求值结果为：

(10110111)2  ＝ 1×(27)＋1×(25)＋1×(24) ＋1×(22) ＋1×(21) ＋1×(20) ＝ (183)10

如果将（10110111）2解释为一个带符号数时，则其十进制数的多项式求值结果为：

(10110111)2  ＝ 1×(-27)＋1×(25)＋1×(24) ＋1×(22) ＋1×(21) ＋1×(20) ＝ (-73)10

当约定用最高有效位作为符号位来确定singned整数后，即可使用“补码”将符号位和其它位统一处理，那么减法也就可以当作加法来处理了。求负数补码的规则如下：

当一个n位二进制数的原码为N时，它的补码定义为(N)补＝2n－N

 当一个8位二进制数的原码为1时，其补码定义为 (28－1)10 = (255)10 = (1111 1111)2，即将该数绝对值原码所有为取反，然后将结果加1，其计算过程为：

(-1)补 ＝ (11111110＋1)2 ＝ (11111111)2

当用补码表示两个数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位位被舍弃。正数的补码与其原码一样，而负数的补码，其符号位为1，将该数绝对值原码的所有位取反，然后将结果加1。由此可见，在计算机中数值一律用补码表示（存储），比如，计算8位二进制数减法（图 1.5）：

(58－39)10 ＝(00111010－00100111)2 ＝(00111010＋11011001)2 ＝(00010011)2 ＝(19)10

3． 溢出

当一个n位二进制数用于表示unsigned数时，其可能的取值范围为0～2n－1，比如，一个8位数的范围在0～28－1（0～255）之间。假设在一个8位unsigned数248上加10，那么需要9位才能存储正确的结果258，而正确结果258与实际结果2（最低8位有效位）之间的差（256）对应的第9位被丢弃了，因此它不能存储在结果中。

当用于表示signed数时，则只有一半用于正值，一半用于负值，因此n位二进制数的补码带符号数的整个取值范围为-2n～2n－1，即一个8位二进制数可以保存一个范围在-27～27－1（-128～127）之间的带符号值。因此对于signed数，当加上具有不同符号的数或减去具有相同符号的数时，将永远不会溢出。如果将两个具有相同符号的整数相加，或将两个具有不同符号的整数相减时，将可能发生溢出。比如，从一个8位signed整数-120中减去20：

((-120) ＋ (-20))10 ＝ (10001000 ＋11101100)2 ＝ (01110100)2 ＝ (116)10

而其正确的结果-140需要9位才能存储，因此正确结果-140与实际结果116（最低8位有效位）之间的差（256）对应的第9位被丢弃了，它不能存储在结果中。由于整数数据类型的溢出是悄悄发生的，因此一定要注意每个变量可能的取值范围。

4． 定点数与浮点数

（1）定点格式

下面将从整数的二进制表示开始，这里的整数被数学家称为“自然数”，即计算机程序员口中的“正整数”。此外，数学家还定义了用两个整数的比值表示的一类数，称为有理数或。比如，3/4是一个有理数，也可以将3/4表示为十进制小数0.75。尽管可以将它写成十进制数的形式，但它实际上代表一个分数，即75/100。

在十进制数字系统中，虽然小数点左边的数的每一位都和10的正整数次幂相关，其右边的数的每一位都和10的负整数次幂相关，但还是有一些有理数很难表示为小数，最明显的例子是1/3，其结果为0.333333333...在小数点后面有无穷个3。尽管如此，将1/3表示为小数还是不方便，但它毕竟是一个有理数，因为在本质上它是两个整数的比。

无理数更是一些奇特的数，比如，2的平方根等。它们不能表示为两个整数的比，即其小数部分是无穷的，而且毫无规律。到此为止讨论的所有数——有理数和无理数都统称为实数。使用实数定义它们的目的是为了将其与虚数区别开来，虚数是负数的平方根，而实数与虚数又构成了复数。

通常人们习惯将数字看成连续的，任意给出的两个有理数，都可以找出一个位于它们之间的数，实际上只要取这两个数的平均值即可。但计算机却无能为力，因为二进制中的每一位非0即1，两者之间没有任何数。这一特点决定了计算机只能处理离散数据，因此二进制数的位数直接决定了所能表示的离散数值的个数，比如，对于8位数来说，所能表示的自然数的范围为0~255。如果要在计算机中存储4.5这个数，则需要选择新的表示方式。

小数可以表示二进制数吗？最简单的方法是使用BCD码（二进制编码的十进制数）。通常将两个BCD数一起使用，这种方式称为压缩BCD。由于2的补数不和BCD数一起使用，则压缩BCD需要增加1位用于标识数的正负，该位被称作符号位。虽然用一个字节保存某个特定的BCD数是非常方便的，但要为这个短小的符号位牺牲4位或8位的存储空间。假设计算机程序要处理的钱款数目在+/-100万之间，则表示前的数目的范围为：

-9,999,999.99 ~ 99,999,999.99

因此保存在存储器中的一笔钱的金额都需要5字节。比如，-4,325,120.25可以表示为：

0001 0100  0011 0010  0101 0001  0010 0000  0010 0101

将每个字节转换成十六进制数，则上面的数可以等价地表示为14H 32H 51H 20H 25H，最左边的半个字节所构成的1用于指明该数是负数，这个1即符号位。如果这半个字节所构成的数是0，则说明该数是整数。组成该数的每一个数字都需要用4位表示，从十六进制的表示形式中可以很直观地看到这一点。如果将数的范围扩大，则需要更多的字节来实现。

这种基于二进制的存储和标记方式被称为定点格式，所谓的“定点”是指小数点的位置总是在数的某个特定位置。但在表示非常大或非常小的数时，使用定点格式数是不合适的。因此科学家和工程师喜欢使用一种称为“科学计数法”的方法记录这类较大或较小的数，利用这种计数系统可以更好地在计算机中存储这些数。

科学计数法将每个数表示为有效位与10的幂的乘积的形式，从而避免了写一长串的0。比如，490,000,000,000可以表示为4.9×1011，而0.00000000026可以表示为2.6×10-10。在这两个例子中，4.9和2.6被称为小数部分或首数，有时也称为尾数。在计算机术语中，这部分被称为有效数，为了保持一致，在这里将科学计数法表示形式中的这一部分称为有效数。

采用科学计数法表示的数可以分为两部分，其中的指数部分用于表示10的几次幂，指数可以表示小数点相对于有效数移动的距离。为了便于操作，规定有效数的取值范围是大于或等于1而小于10。比如，4.9×1011这种写法被称为科学计数法的规范化。这里需要说明，指数的正负性只是表明了数的大小，它不能指明数本身的正负性。

（2）浮点格式

在计算机中，对于小数的存储方式，除了定点格式外还有一种选择，它被称为浮点格式。因为浮点格式是基于科学计数法的，所以它是存储极大或极小数的理想方式。但计算机的浮点格式是借助二进制数实现的科学计数法形式，因此需要先了解如何用二进制表示小数。

在二进制数中，二进制小数点右边的数字和2的负整数次幂相关。比如，将101.1101转换为十进制数为：

1×4＋0×2＋1×1＋1÷2＋1÷4＋0÷8＋1÷16

将乘数和除数用2的整数次幂替换，即：

1×22＋0×21＋1×20＋1×2-1＋1×2-2＋0×2-3＋1×2-4

2的负整数次幂等于从1开始反复除以2，即：

1×4＋0×2＋1×1＋1×0.5＋1×0.25＋0×0.125＋1×0.0625

经过计算后得出101.1101与十进制数5.8125是相等的。

在二进制的科学计数法中，规范化的有效数应该大于或等于1且小于10（十进制的2），则101.1101的规范格式为1.0111011×22，这个规则暗示这样一个有趣的现象，在规范化的二进制浮点数中，小数点的左边只有一个1，除此之外没有其它数字。

• 单精度格式

在计算机中处理浮点数所遵循的标准是由IEEE于1985年制定的，IEEE浮点数标准定义了两种基本格式：以2字节表示的单精度格式和8字节表示的双精度格式。单精度格式的4个字节分为三个部分：1位符号位（0代表整数，1代表负数），8位用做指数，最后的23位用做有效数。下面给出单精度格式的三部分的划分方式，其中有效数的最低位在最右边：

对于二进制科学计数法的规范格式，其有效数的小数点左边有且仅有一个1，而在IEEE浮点数标准中，这一位没有分配存储空间。仅存储有效数的23位小数部分，尽管存储的只有23位，但仍称其精度为24位，将在下面的内容中体会24位精度的含义。

8位指数部分的取值范围为0~255，称为偏移指数，它的意思是——对于有符号指数，为了确定其实际所代表的的值必须从指数中减去一个值——称为偏移量。对于单精度浮点数，其偏移量为127。如果指数的取值范围为0~254，那么对于一个特定的数，可以用s（符号位）、e（指数）和f（有效数）来描述。即：

(-1)s×1.f×2e-127

其中，-1的s次幂是数学上所采用的一种巧妙的方法，其含义为：如果s=0，则该数是正的（因为任何数的0次幂都是1）；如果s=1，则该数是负的（因为-1的1次幂等于-1）。

表达式中的中间部分1.f，其含义为：1的后面是小数点，小数点后面跟着23位的有效数。1.f与2的幂相乘，其中的指数等于内存中的8位偏移量指数减去127。现在我们来讨论一种特殊情况，其详细介绍如下：

（a）如果e=0且f=0，则该数为0。通常将23位都设置为0以表示该数为0，当符号

位置1时，这种数解释为负0，而负0可以表示非常小的数。虽然这些数极小以至于不能在单精度格式下用数字和指数表示，但它仍然小于0。

（b）如果e=0且f≠0，虽然该数是合法的，但不符合规范。这类数可以表示为：

(-1)s×0.f×2-127

注意，在有效数中，小数点的左边是0。

（c）如果e=255且f=0，则该数被解释为无穷大或无穷小，其取决于符号位s的值。

（d）如果e=255且f≠0，则该值被解释为“不是一个数”，通常被缩写为NaN（not a number），NaN用于表示未知的数或非法操作的结果。

在单精度格式下，可以表示的规格化的最小正负二进制数为：

1.000000000000000000000002×2-126

在单精度格式下，可以表示规格化的最大正负二进制数为：

1.111111111111111111111112×2127

在十进制下，这两个数近似地等于1.175494351×10-38和3.402823466×1038，这就是单精度浮点数的有效表示范围。

一般来说，10位二进制数可以近似地用3位十进制数表示，其含义是，如果将10都置为1，即十六进制的3FFH或十进制的1023，它近似地等于将十进制数的3位都置为9，即999，可以表示为210≈103，两者的关系意味着：单精度浮点格式存放的24位二进制数大体上与7位的十进制数相等。因此可以说单精度浮点数提供24位的二进制精度或7位的十进制精度。其深层含义是什么呢？

当我们查看定点数时，其精确度是非常明显的。比如，当用两位定点小数表示钱时，可以精确到分。但对于浮点格式的数来说，就不能如此肯定了。其精确度依赖于指数的值，有时浮点数可以精确到比分还小的单位，但有时其精确度甚至达不到元。因此这样说可能更合适：单精度浮点数的精度为1/224，或1/16777216，或百万分之六，但其真正的含义是什么？

也就是说，在单精度浮点格式下，16,777,216和16,777,217表示为同一个数，不仅如此，处于两个数之间的所有的数都表示为同一个数。由此可见，在程序中使用单精度格式表示浮点数也会出现问题，这时可以考虑使用双精度浮点数。

• 双精度格式

双精度浮点数需要用8字节表示，它的结构如下：

双精度浮点数的指数偏移量为1023，或十六进制的3FFH，因此以该格式存储的数可以表示为：

(-1)s×1.f×2e-1023

在单精度格式下，提到的单精度浮点格式下的0，无穷大（小）和NaN的判断规则同样适用于双精度浮点格式。双精度浮点数所能表示的范围，用十进制可以近似记为：

2.2250738585072014×10-308 ~ 1.7976931348623158×10308

10的308次幂是一个非常巨大的数，在1的后面跟着308个0。双精度浮点格式的有效数为53位（IEEE754规定隐藏位1的位置在小数点之前），大致相当于十进制的16位。

关于浮点数的用法，与整数不同的是浮点数是有精度的，而初学者常在这些看起来似乎很不起眼的问题上阴沟里翻船，其相应的范例程序详见程序清单 1.4。

  程序清单 1.4 浮点数误差测试范例程序（1）

1#include<stdio.h>

2int main(int argc, char *argv[])

3{

4float fNum = 1000001.111111;

5

6printf("fNum=%f\n", fNum);

7return 0;

8}

通过上机实践你会发现，其输出结果不是1000001.111111，而是1000001.125000，这是因为float型变量仅能接收浮点数常量的7位有效数字，在有效数字后面输出的数字都是不准确的。也就是说，浮点数在计算机中存储的都是近似值，比如，10进制的0.1，用2进制来表示的话，则是0.000110011001......的无限循环，所以不能将浮点变量用“==或!=”与任何数比较，而初级程序员却常常容易犯以下这样的错误，详见程序清单 1.5。

程序清单 1.5  浮点数误差测试范例程序（2）

1#include<stdio.h>

2int main(int argc, char *argv[])

3{

4float f1 = 123.456001;

5float f2 = 123.456002;

6

7if(f1 == f2){

8printf("相等");

9}else{

19printf("不相等");

11    }

12return 0;

13}

对于浮点数来说，只要足够接近0，就应该认为它的值为0，其合法的比较语句如下：

#define  EPSINON  0.0001// 定义程序可接受的浮点数0值

if(value < EPSINON && value > - EPSINON)// value等于0

if(value >= EPSINON || value <= - EPSINON)// value不等于0

5． 类型转换

数据类型是值的集合（内置类型或其它类型）和在这些值上的操作（函数）集，当执行一个操作时，必须确保操作数和结果具有正确的类型，忽视这一点是程序设计中的常见错误。

如果两个表达式的类型相容，则编译器对操作数隐式地进行自动转换，隐式类型转换是将范围窄的的数类型转换为范围更宽的数的类型。也就是说，一些变量在编译期与运行时的结果不一样。即：

char、short→int→unsigned int→long→double  (float→double)

计算的结果将以转换后的类型表示，这样可以保证结果尽可能准确。如果表达式的操作数分别为int型和double型，则int型的操作数被转换为double型。比如：

int a = 4;

double b = 3.521, c;

c = a + b;// 编译器将a自动转换为double型，即4.0

a = a + b;// 编译器将a+b的结果自动转换为int

其结果为c = 7.521，a = 7（即截尾操作）。另有：

unsigned int a = 9;

int b = - 4, c;

c = a / b;

其中，a为unsigned int，b为int，编译器会隐式地将int转换为unsigned int。9对应的二进制数为0x00001001，4对应的二进制数为0x00000100，而-4的补码形式为原码4取反加1，即b为0x0111 1100，则a/b为0。如程序清单 1.6所示的范例程序，这是招聘软件工程师经常考察的经典试题。

程序清单 1.6 变量的类型自动转换范例程序

1 #include<stdio.h>

2i nt main(int argc, char *argv[])

3 {

4 unsigned char a = 0;

5 unsigned char b = 0xFF;

6

7 if (a == ~b){

8 printf("a == ~b");

9 }else{

10 printf("a != ~b");

11 }

12 }

（a）0，1（b）与编译器相关（c）a != ~b（d）a == ~b

解题思路：大多数初学者会认为，0xFF取反后得到0x00，因为a和b在编译期都是char类型变量，所以结果为a == ~b。而实际上在32位计算机中，表达式在运行时将unsigned char型的变量自动转换成了unsigned int型变量，即~b = 0xFFFFFF00，显然其结果a != ~b。

除了隐式类型转换外，有时还需要强制类型转换。比如，i是一个int值，那么表达式“double i;”就会对i的值进行强制类型转换，使该表达式变成double类型。